Spannungsamplitude einer Zylinderspule

Aufrufe: 1281     Aktiv: 09.05.2020 um 14:31
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Hallo liebe Helfer!

Ich habe die folgende Aufgabe fertig gerechnet und durch rumprobieren bin ich aufs richtige Ergebnis gekommen. Aber wie wäre denn die richtige Herleitung?

Eine lange Zylinderspule mit N Umdrehungen hat einen Durchmesser d und eine Länge l. Zunächst sollte die Induktivität L berechnet werden:

\(Querschnittsfläche\) \(A=\frac{\Pi*d^2}{4}\)
\(L=N^2*\mu_0 * \frac{A}{l}\)

Im zweiten Teil der Aufgabe ist gegeben, dass die Zylinderspule von einem Wechselstrom durchflossen wird und man soll nun die Amplitude berechnen. Dazu ist auch die Formel des Stroms gegeben:

\(I(t)=I_0*sin(\omega*t)\)

Nun hab ich mir folgende Formel zusammengereimt und die scheint wohl zu passen:

\(U_0=L*I_0*\omega\)

Ich wüsste nur sehr gerne wie man sich diese Formel korrekt herleitet.

 

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Hallo, ob das jetzt historisch so entdeckt wurde, weiß ich nicht so genau. Du kannst das aber über die Selbstinduktion herleiten. Es gilt\(u_{ind} = -N*\frac{d_\Phi}{d_t} = -N*A*\frac{d_B}{d_t} = -N*A*µ_0*\frac{N}{l}*\frac{d_i}{d_t} = -N^2*µ_0*\frac{A}{l}*\frac{d_i}{d_t} = -L*\frac{d_i}{d_t}\). In der E-Technik wird allgemein \(u_{(t)} = L*\frac{d_i}{d_t}\) und \(i_{(t)} = C*\frac{d_u}{d_t}\) als Basisformeln benutzt. Hier kommt jetzt noch ein Aspekt den Du in Deiner einfachen Formel nicht berücksichtigt hast. Ist \(u_{(t)} = sin(\omega t)\) dann ist \(\frac{sin(\omega t))}{d_t}\) ja \(cos(\omega t)\). Das heist Du hast zwischen U und I eine Phasenverschiebung von \(\frac{\pi}{2}\). Ganz wichtig! So, ich hoffe ich habe nicht so viele Tippfehler gemacht. Gruß jobe

 

 

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Hallo Jobe. Erstmal ganz vielen Dank für die ausführliche Antwort. Wenn ich \(\frac{sin(\omega t))}{d_t}\) nachrechne, dann komme ich aber auf \(\omega*cos(\omega t)\). Wie würde denn deine fertige Formel für \(U_0\), also für die Amplitude aussehen?   ─   n00b 09.05.2020 um 11:03
Hallo, natürlich hast Du Recht, es sollte zunächst nur ein Hinweis sein. Wir haben das so wie sich das für einen E-techniker gehört im Komplexen gerechnet. Da bekommst Du dann \(\hat u_L*e^{j*\varphi_u} = \omega *L*\hat i_L*e^{j(\varphi_u +\frac{\pi}{2})}\). P.S. das phi sollte eigentlich ein kleines phi sein - wird's aber irgendwie nicht??? Gruß jobe   ─   jobe 09.05.2020 um 11:41
Meinst du \(\varphi\) also \varphi?
Und was ist j?   ─   n00b 09.05.2020 um 13:03
Ja, Danke für \varphi, da bin ich (noch) nicht so fit (hab's aber schon korrigiert).Aus Deiner Frage darf ich entnehmen, dass Du nicht E-Technik studierst :-) In der E-Technik kollidiert die imaginäre Einheit i mit dem elektrischen Strom i. Daher hat man sich in der E-Technik darauf geeinigt die imaginäre Einheit mit j zu bezeichnen. Gruß jobe   ─   jobe 09.05.2020 um 13:12
Aus irgendeinem Grund hat der Faktor \(e^{j(\varphi_u +\frac{\pi}{2})}\) bei meiner Berechnung keine Rolle gespielt, d.h. er muss 1 gewesen sein. D.h. \(0=j(\varphi_u +\frac{\pi}{2})\) Aber wieso?   ─   n00b 09.05.2020 um 13:22
Hmm \(e^{jn}\) wir nur 1 bei 0 und \(j2\pi n\) Da müsstest Du ja ganz seltsame Werte für \(\varphi\) haben...   ─   jobe 09.05.2020 um 13:32
Also meine fertige Formel lautete \(U_0=L*I_0*\omega\). Mit der kam ich auf das gesuchte Ergebnis. Und wie du siehst steckt da kein e als Faktor drin.   ─   n00b 09.05.2020 um 13:35
Ich kenne ja Deine Aufgabenstellung und die Hintergründe nicht. Bei einer Spule ist es halt wegen \(*\frac{d_i}{d_t} \) einfach so, dass Du zwischen \(U_0\) und \(I_0\) eine Phasenverschiebung (bei einer idealen Spule) von 90° hast. Bedeutet wenn \(U_0 = \text{max.}\) ist, ist gleichzeitig \(I_0 = 0\). Das wollte ich nur erläutern. Ist bei Deiner Aufgabenstellen wahrscheinlich egal. Beim Kondensator ist es gerade umgekehrt. Alles gut, Gruß jobe.   ─   jobe 09.05.2020 um 14:05
Ich bin dir für die ganze Hilfe sehr dankbar und freue mich darüber. Du hast mir sehr geholfen!   ─   n00b 09.05.2020 um 14:31

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