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das ist ein beispiel aus meinen physik buch.
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Die Energiebilanz, welche die Bewegung zu jedem Zeitpunkt \(t\) wiedergibt, liefert den Ansatz
\(E_{kin}(t) + E_{pot}(t) = E_{kin}(0) \)
Die kinetische Energie ist \(E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\Theta \omega^2\)
und mit der Abrollbedingung \(v=\omega r\):
\(E_{kin} = \frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2\)
Damit ist lautet die Energiebilanz:
\(\frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2 + mgs\ sin(\alpha) = \frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2_0 \)
(\(\omega_0\) ist die gegebene Anfangswinkelgeschwindigkeit bei t=0)
Um auf eine Differentialgleichung von \(s\) zu kommen, ersetzen wir wieder \(\omega = v/r = \dot{s}/r\) und erhalten die DGL:
\(\frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \frac{1}{r^2}\ \dot{s}^2 + mg\ s\ sin(\alpha) = \frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2_0 \)
\(E_{kin}(t) + E_{pot}(t) = E_{kin}(0) \)
Die kinetische Energie ist \(E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\Theta \omega^2\)
und mit der Abrollbedingung \(v=\omega r\):
\(E_{kin} = \frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2\)
Damit ist lautet die Energiebilanz:
\(\frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2 + mgs\ sin(\alpha) = \frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2_0 \)
(\(\omega_0\) ist die gegebene Anfangswinkelgeschwindigkeit bei t=0)
Um auf eine Differentialgleichung von \(s\) zu kommen, ersetzen wir wieder \(\omega = v/r = \dot{s}/r\) und erhalten die DGL:
\(\frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \frac{1}{r^2}\ \dot{s}^2 + mg\ s\ sin(\alpha) = \frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2_0 \)
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stefriegel
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Vielen dank für ihre hilfe. Jetzt habe ich es auch verstanden was sie gemeint haben mit der Rollbedigung
─
jonas037283
22.01.2023 um 18:40