Schiefe Ebene Trägheitsmoment

Erste Frage Aufrufe: 92     Aktiv: 22.01.2023 um 18:40

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Ein Homogener Vollzylinder rotiert  mit der Winkelgeschwindikeit w um die Mittelachse.. Zur Zeit t=0 beginnt er Reibungsffei eine schiefe Ebene hinauf zu rollen. Die Ebene ist um den Winkel a gegen die horizontale geneigt.
Leiten sie eine Differenzialgleichung für die Strecke her. 

Stimmt mein Ergebnis hierbei?

EDIT vom 22.01.2023 um 10:47:




So hat das mein professor für einen rollbewegunh nach unten gemachz. Aber ob hoch oder runter macht ja eigentlich keinen unterschied

EDIT vom 22.01.2023 um 12:52:

das ist ein beispiel aus meinen physik buch.
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Die Energiebilanz, welche die Bewegung zu jedem Zeitpunkt \(t\) wiedergibt, liefert den Ansatz
\(E_{kin}(t) + E_{pot}(t) = E_{kin}(0) \)

Die kinetische Energie ist \(E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\Theta \omega^2\)
und mit der Abrollbedingung \(v=\omega r\):
\(E_{kin} = \frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2\)

Damit ist lautet die Energiebilanz:
\(\frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2 + mgs\ sin(\alpha) = \frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2_0 \)
(\(\omega_0\) ist die gegebene Anfangswinkelgeschwindigkeit bei t=0)

Um auf eine Differentialgleichung von \(s\) zu kommen, ersetzen wir wieder \(\omega = v/r = \dot{s}/r\) und erhalten die DGL:
\(\frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \frac{1}{r^2}\ \dot{s}^2  + mg\ s\ sin(\alpha) = \frac{1}{2}(mr^2 + \Theta)\ \omega^2_0 \)
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Vielen dank für ihre hilfe. Jetzt habe ich es auch verstanden was sie gemeint haben mit der Rollbedigung   ─   jonas037283 22.01.2023 um 18:40

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Dein Rechenweg ist nicht falsch, aber er liefert noch nicht die gesuchte Lösung. Bedenke, dass zwischen \(\omega\) und \(v\) aufgrund der Abrollbewegung des Zylinders noch ein Zusammenhang besteht: \(v = \omega\cdot r\) und \(s = 2\pi r\).

In deiner ersten Zeile muss es heißen \(\Delta E_{pot}= M\ g\ s\cdot sin(\alpha) \).
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aber V aufzusplitten gibt doch in diesem fall keinen sinn oder? ich suche doch nach V wenn ich dies aufsplitte in w x r habe ich doch kein V mehr oder s punkt. Oder irre ich mich?   ─   jonas037283 21.01.2023 um 23:32

Es macht aber einen Unterschied, ob der Zylinder den Hang hoch gleitet oder ob er rollt. Um beim Rollen den Zusammenhang zwischen seiner Translations- und Rotationsbewegung herzustellen, musst du auf jeden Fall die Abrollbedingung \(v = \omega r\) einbauen.

Außerdem kannst du nicht einfach \(E_{kin} = E_{pot}\) ansetzen. Denn diese Gleichung ist nicht zu jedem Zeitpunkt \(t\) gültig, sondern vergleicht nur den Energiezustand vor dem Start mit dem Energiezustand am Ruhepunkt. Richtig wäre der Ansatz \(E_{kin}(t) + E_{pot}(t) = E_{kin}(0) \).
  ─   stefriegel 22.01.2023 um 08:54

ich hab das ja oben eigentlich wie das beispiel von meinem professor gerechnet. Nur das es bei ihm runterrollt das aber kein unterschied macht oder?. Ich hab nur w als geschwindigkeit angekommen   ─   jonas037283 22.01.2023 um 10:50

Im Beispiel deines Professors wird die Endgeschwindigkeit \(v\) ausgerechnet, die der Zylinder nach dem Herunterrollen besitzt. In deiner Aufgabe geht es aber darum, eine Differenzialgleichung für \(s(t)\) aufzustellen, die die Bewegung zu jedem Zeitpunkt während des Herabrollens beschreibt.   ─   stefriegel 22.01.2023 um 12:34

noch eine frage hab ich. Ich hab die aufgabe auch in unserem buch gefunden. Hierbei wurde auch so dargestellt. Stimmt das in meinem buch nicht?   ─   jonas037283 22.01.2023 um 12:53

Doch, da stimmt es. Du siehst auch, dass dort die Abrollbedingung v=wr verwendet wurde. Ein Unterschied zu deiner Aufgabe ist, dass der Zylinder die Anfangsgeschwindigkeit 0 und dafür eine Epot hat.   ─   stefriegel 22.01.2023 um 12:57

aber kann ich nicht annehmen das bei max höhe auch V=0 und somit auch Epot besitze? Ich möchte sie nicht nerven können. Könnten sie sonst mir mal ihre lösung zeigen. Ich stehe sonst gerade echt auf dem schlauch und am dienstag habe ich eine prüfung   ─   jonas037283 22.01.2023 um 13:15

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