Also von Bild 1 zu 2 ist das nur eine Veränderung der Schreibweise. Einmal betrachtest du konkret den Grenzübergang durch den Limes. Das "d" bedeutet nichts anderes als delta und heißt so viel wie, dass man den Weg (ds) nach der Zeit (dt, der variablen Größe) ableitet, das ist eine Kurzform, wie s'(t) oder s punkt (t). Allerdings ist sie deutlich geschickter, da man damit besser rechnen kann.

Und der Limes ist ja nur eine Schreibweise für den Grenzwert, wenn t gegen 0 geht, das ist wie das "h" beim Äquivalent der h Methode in der Mathematik, falls dir das etwas sagt. Im Prinzip berechnest du ja die Steigung der Weg Zeit Kurve, welche der Geschwindigkeit entspricht, und wenn das Intervall t gegen 0 geht, hast du die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt und nicht nur den Mittelwert.

So ganz genau verstehe ich Dein Problem nicht. Vielleicht hilft Dir der Hinweis, dass die momentane Geschwindigkeit die 1. Ableitung der Bahnkurve s(t) ist. Dazu wähltst Du Dir zwei benachbarte Zeitpunkte, die zu den Positionen \(s(t+\Delta t)\) und \(s(t)\) gehören und berechnest den Lim für Delta t gegen 0. Also für den freien Fall z.B. gilt \(s(t)=(-g/2) t^2 + v_0t +s_0\), was als Geschwindigkeit \(v(t)=-gt+v_0\) liefert würde. Mehr steckt da nicht dahinter. Vielleicht präzisierst Du die Frage notfalls noch einmal.