Dreikörperproblem, Spezialfall: gleichseitiges Dreieck

Erste Frage Aufrufe: 59     Aktiv: 03.05.2021 um 03:57

0

Hallo,

ich sitze hier vor einer Aufgabe und komme leider gar nicht weiter. Die Aufgabe lautet:

Die Trajektorie von \(m_1\) lässt sich darstellen durch \(r_1(\theta)=\frac{a(1-e^2)}{1-ecos(\theta)}r(\theta)\)

dabei sind \(a\) und \(e\) Konstanten und \(r(\theta)\) ein radialer Einheitsvektor. Man soll nun die Trajektorien von \(m_2\) und \(m_3\) bestimmen, unter der Berücksichtigung, dass \(m_1,m_2,m_2\) auf den Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks liegen.

Gegeben ist außerdem diese Skizze:

mit dem Hinweis, dass der Kosinussatz hilfreich sein könnte.

In der a) habe ich gezeigt, dass man die Bewegungsgleichungen der drei Punkte entkoppeln kann, sodass sich diese Formel ergibt: 
\(r_i''+\frac{GM_ir_i}{r_i^3}=0\), vielleicht hilft das hier.

Leider bin ich noch nicht weit gekommen mit meinen Überlegungen, aber gedacht habe ich mir: Die Trajektorien von \(m_2,m_3\) hängen von der gegebenen Trajektorie ab. Wüsste ich die Winkel \(\alpha_{12}\) und \(\alpha_{13}\), dann müsste ich eigentlich schon die Position von \(m_2\) und \(m_3\) in Abhängigkeit der Position von \(m_1\) angeben können. Ich dachte mir z.B. so: \(r_2(\theta)=\frac{a(1-e^2)}{1-ecos(\theta+\alpha_{12})}r(\theta)\)
und \(r_3(\theta)=\frac{a(1-e^2)}{1-ecos(\theta-\alpha_{13})}r(\theta)\).

Aber wie ich die Winkel ausrechne und wie ich den Kosinussatz verwenden muss, ist mir nicht klar.

Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus und LG

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 12

 

Kommentar schreiben

1 Antwort
1
Ach du heiliges Kanonenrohr,

na herzlichen Glückwunsch. In welcher Klasse macht ihr denn das? Ich hoffe, du bist im Studium :-)

Ich kann dir nur sehr bescheiden helfen:

Mit dem Kosinussatz kannst du die Länge \( r_1, r_2 \) und \(r_3 \) zu den Seiten des Dreiecks in Beziehung setzen.
Es handelt sich ja um ein gleichschenkliges Dreiech. Welche Schenkel sind das denn? Ich sehe: Im Titel "gleichseitig", im Text "gleichschenklig".

Also z.B.: \( cos(\alpha_{13}) =\frac{r_1^2 + r_3^2 - |m_1m_3|^2}{2 \cdot r_1 \cdot r_3} \)

Das müsste analog gelten für:
\( cos(\alpha_{12}) =\frac{r_1^2 + r_2^2 - |m_1m_2|^2}{2 \cdot r_1 \cdot r_2} \)

Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt: \(|m_1m_2| = |m_1m_3| \)

Vielleicht hilft dir das weiter! Ohjejeje!
Beste Grüße, Max M.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 947
 

Hallo,

also erstmal eine Entwarnung: Ich studiere Physik im 2. Semester ;D

Dann zu der Beschaffenheit des Dreiecks: Es soll ein gleichseitiges Dreieck sein, da habe ich im Text etwas durcheinander gebracht!

Ansonsten vielen Dank für die Hilfe mit dem Kosinussatz, das ist ja schonmal ein Anfang. Ich werde schauen, was ich daraus basteln kann.

Danke und LG
  ─   mrxxn 03.05.2021 um 03:57

Kommentar schreiben