"Wenn der elektrische Fluss durch eine geschlossene Fläche null ist, ist dann an allen Punkten der Fläche das elektrische Feld notwendigerweise gleich null"

Zuerst einmal musst du genauer sagen, was du mit Fläche meinst. Ein mathematisches Objekt oder irgendein Material z.B. ein Leiter? Im zweiten Fall ist das ganze deutlich komplizierter.

Im ersten Fall nö. Da wo das elektrische Feld auf die Fläche trifft, also wo der Fluss durch die Fläche entsteht, ist das Feld sicherlich nicht Null. Da wo es rausgeht sicherlich auch nicht.

"Wie verhält es sich mit der Umkehrung: Wenn in allen Punkten der Fläche E = 0 gilt, ist dann der Fluss durch die Fläche gleich null?"

Wenn überall E=0 gilt, dann hast du auch keinen Fluss durch die Fläche. Somit ist dieser Null.