Newtonsches Abkühlungsgesetz

Aufrufe: 301     Aktiv: 09.09.2022 um 22:37

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Hallo zusammen,

ich habe eine wichtige Frage zum Newtonschen Abkühlungsgesetz. 

Ich musste folgendes Experiment durchführen und dazu diese Aufgabe bearbeiten: Ich weiß wirklich nicht was ich machen soll. 

Fülle etwa 50 °C heißes Wasser einen Becher und nimm die Temperatur des Wassers in dem Gefäß in Abhängigkeit von der Zeit auf. 

Aus dem Newtonschen Abkühlungsgesetz lässt sich bei konstanten Umgebungsbedingungen für den Verlauf der Temperatur ϑ des Körpers der Zusammenhang


ϑ(t) = ϑ U + (ϑ 0 − ϑU ) · e −t/ τ

ableiten. Dabei bezeichnen t die Zeit, τ die Zeitkonstante der Abkühlung, ϑ U die als konstant angenommene Umgebungstemperatur und ϑ 0 die Temperatur des Körpers zur Zeit t = 0.

Bestimme die Zeitkonstante in deinem Experiment.

Ich habe das Experiment durchgeführt und folgende Graphen erstellt:





Meine Vorangehensweise zur Bearbeitung der Aufgabe:

Zunächst habe ich die Formel nach der Konstante umgestellt und die gemessenen Werte eingesetzt. Allerdings kommt in diesem Fall für jeden t Wert eine andere Zahl für die Konstante raus. Meine Lehrerin meinte, dass ich die Funktion logarithmisch auftragen soll. Dies habe ich auch mithilfe von Excel gemacht. So entsteht eine Gerade, dessen Steigung ich ablesen/bestimmen kann. Allerdings verstehe ich nicht, wie ich damit auf die Konstante kommen kann. Kann mir jemand dies bitte so gut es geht erklären?

Danke im Voraus!
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1 Antwort
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Dein logarithmisches Diagramm sieht aber nicht wie eine Gerade aus.Sie ist krumm.
Wichtig ist, dass du auf der Temperaturachse nicht \(\vartheta(t)\) aufträgst, sondern \(\vartheta(t) - \vartheta U\).

Warum? Weil wenn du die Formel \(\vartheta(t) = \vartheta U + (\vartheta 0 - \vartheta U) \cdot e^{-t/\tau}\) umstellst:
\(\vartheta(t) -\vartheta U =  (\vartheta 0 - \vartheta U) \cdot e^{-t/\tau}\)
bekommst du eine reine e-Funktion der Form
\(y = a\cdot e^{bx}\)
Diese sieht in der logarithmischen Darstellung wie eine Gerade aus. Der y-Achsenabschnitt \(a\) ist \(\vartheta 0 -\vartheta U\)
und die Steigung \(b\) der Geraden ist \(-1/\tau\).

Wenn du die Zeitkonstante nicht graphisch ablesen, sondern rechnerisch bestimmen möchtest, musst du die Gleichung \(y = a\cdot e^{bx}\) logarithmieren:
\(ln(y) = ln(a)+ bx\)
Die Steigung \(b\) dieser Geraden bekommst du wie üblich mit der Steigungsformel, in dem du 2 Punkte einsetzt.
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Erstmal vielen Dank für die so ausführliche Antwort.

Du schreibst: Der y-Achsenabschnitt a ist ϑ0 − ϑU und die Steigung b der Geraden ist −1/τ. Wieso ist die Steigung −1/τ ?
  ─   erik12345 09.09.2022 um 21:05

\(e^{-t/\tau}\) kann man ja schreiben als \(e^{-\frac{1}{\tau} \cdot\ t}\)
In der Form \(y = a\cdot e^{\ bt} \) hat das \(b\) also den Wert \(b =- \frac{1}{\tau}\)

Wenn du das logarithmierst, bekommst du \(ln(y) =ln(a) + bx\).
Das ist eine Geradengleichung, in der \(ln(a)\) der y-Achsenabschnitt ist und \(b\) die Steigung.
  ─   stefriegel 09.09.2022 um 22:29

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Ok, verstehe.

Also ich gehe wie folgt vor:

Ich trage ϑ(t) −ϑU auf die Y-Achse des Graphen auf. Den entstehenden Graphen logarithmiere ich, und es kommt eine Gerade raus.

Ich bestimme die Steigung m der Gerade.

Mit m= −1/τ kann ich dann τ, die gesuchte Konstante bestimmen.

Ist es die richtige Vorangehensweise?
  ─   erik12345 09.09.2022 um 22:37

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