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Deine Rechnung stimmt nicht. Um die Rakete von 50 auf 100 km/h zu beschleunigen, brauchst du nicht 1000 Joule, sondern 3000 Joule.
Der Denkfehler ist, dass eine konstante Verbrennung bei weitem nicht zu einer konstanten Beschleunigung der Rakete führt. Der größte Teil der chemischen Energie wird nämlich für die Rückwärtsbeschleunigung des Treibstoffgases verwendet. Das ist ja gerade das Prinzip des Raketenantriebs: Eine Rakete ist kein abgeschlossenes System, in dem die Energie konstant ist.
Der Denkfehler ist, dass eine konstante Verbrennung bei weitem nicht zu einer konstanten Beschleunigung der Rakete führt. Der größte Teil der chemischen Energie wird nämlich für die Rückwärtsbeschleunigung des Treibstoffgases verwendet. Das ist ja gerade das Prinzip des Raketenantriebs: Eine Rakete ist kein abgeschlossenes System, in dem die Energie konstant ist.
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stefriegel
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Nein, du musst bei der Berechnung berücksichtigen, dass der ausgestoßene Treibstoff selbst mitbeschleunigt wird.
Das Problem ist, dass du beim Impuls aus der Sicht des Schwerpunktsystems (mitreisender Beobachter) argumentierst, bei der Energie aber die Geschwindigkeit in Bezug auf einen ruhenden Beobachter misst. Das geht natürlich nicht. ─ stefriegel 09.07.2023 um 09:12
Das Problem ist, dass du beim Impuls aus der Sicht des Schwerpunktsystems (mitreisender Beobachter) argumentierst, bei der Energie aber die Geschwindigkeit in Bezug auf einen ruhenden Beobachter misst. Das geht natürlich nicht. ─ stefriegel 09.07.2023 um 09:12
ja, das war mir klar, aber ich dachte, man könnte das aufgrund der geringen Eigengeschwindigkeit der Rakete (km/h) im Vergleich zur Geschwindigkeit der Treibstoffgase (km/s) vernachlässigen.
─
usera50333
11.07.2023 um 19:12
Das ist aber auch tatsächlich nicht das Problem. Es ist vernachlässigbar.
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usera50333
15.07.2023 um 10:55
Man darf keine der beiden Geschwindigkeiten vernachlässigen, sonst funktioniert der Impulssatz nicht mehr. Der ist aber gerade die Voraussetzung für den Raketenantrieb. Ich mach es mal mit dem folgenden Zahlenbeispiel klar:
Wir nehmen eine Rakete mit der Masse 100 kg und Treibstoff mit der Masse 1 kg. Beide gemeinsam werden mit 5050 J auf eine Geschwindigkeit von 10 m/s beschleunigt. Dann wird in der Rakete ein Sprengsatz gezündet, der weitere 5050 J abgibt, die sich auf die Rakete und auf den Treibstoff verteilen. Aus dem Impulssatz folgt, dass im Bezugssystem eines mitfliegenden Beobachters die Rakete um 1 m/s nach vorne und der Treibstoff um 100 m/s nach hinten geschossen werden. Im Bezugssystem eines ruhenden Beobachters hat dann die Rakete eine Geschwindigkeit von 11 m/s mit einer kinetische Energie von 6050 J und der vollständig ausgestoßene Treibstoff eine Geschwindigkeit von -90 m/s mit einer kinetischen Energie von 4050 J. Die Summe der beiden kinetischen Energien beträgt 10100 J. Das ist genau die Summe der hineingesteckten Energien. Der Energiesatz ist also gültig, wenn man alles richtig berücksichtigt. ─ stefriegel 15.07.2023 um 22:24
Wir nehmen eine Rakete mit der Masse 100 kg und Treibstoff mit der Masse 1 kg. Beide gemeinsam werden mit 5050 J auf eine Geschwindigkeit von 10 m/s beschleunigt. Dann wird in der Rakete ein Sprengsatz gezündet, der weitere 5050 J abgibt, die sich auf die Rakete und auf den Treibstoff verteilen. Aus dem Impulssatz folgt, dass im Bezugssystem eines mitfliegenden Beobachters die Rakete um 1 m/s nach vorne und der Treibstoff um 100 m/s nach hinten geschossen werden. Im Bezugssystem eines ruhenden Beobachters hat dann die Rakete eine Geschwindigkeit von 11 m/s mit einer kinetische Energie von 6050 J und der vollständig ausgestoßene Treibstoff eine Geschwindigkeit von -90 m/s mit einer kinetischen Energie von 4050 J. Die Summe der beiden kinetischen Energien beträgt 10100 J. Das ist genau die Summe der hineingesteckten Energien. Der Energiesatz ist also gültig, wenn man alles richtig berücksichtigt. ─ stefriegel 15.07.2023 um 22:24
Ah okay, stimmt, das ist ein gutes Beispiel. Und das macht tatsächlich Sinn. Es birgt die Erkenntnis, dass auch Energie "relativ" ist, je nach Beobachter.
Jetzt habe ich aber inzwischen ein weiteres Beispiel gefunden, ganz ohne Treibstoff und da hakt es intuitiv zumindest immer noch.
Im freien Fall im Vakuum nimmt die potentielle Energie des fallenden Körpers linear ab und die Geschwindigkeit linear zu, somit die kinetische Energie im Quadrat.
Wie bekommt man das intuitiv passend?
Wie kann die potentielle Energie linear abnehmen, wenn die kinetische im Quadrat zunimmt?
Es gilt ja auch W=F*s. Das würde bedeuten dass die Gewichtskraft bei einer höheren Fallgeschwindigkeit mehr Arbeit leistet als bei niedrigerer (weil s pro Zeiteinheit größer wird), obwohl die Gewichtskraft konstant bleibt. ─ usera50333 16.07.2023 um 13:28
Jetzt habe ich aber inzwischen ein weiteres Beispiel gefunden, ganz ohne Treibstoff und da hakt es intuitiv zumindest immer noch.
Im freien Fall im Vakuum nimmt die potentielle Energie des fallenden Körpers linear ab und die Geschwindigkeit linear zu, somit die kinetische Energie im Quadrat.
Wie bekommt man das intuitiv passend?
Wie kann die potentielle Energie linear abnehmen, wenn die kinetische im Quadrat zunimmt?
Es gilt ja auch W=F*s. Das würde bedeuten dass die Gewichtskraft bei einer höheren Fallgeschwindigkeit mehr Arbeit leistet als bei niedrigerer (weil s pro Zeiteinheit größer wird), obwohl die Gewichtskraft konstant bleibt. ─ usera50333 16.07.2023 um 13:28
Ja, die kinetische Energie ist in dem Sinn "relativ", dass die Geschwindigkeit vom Bezugssystem abhängt, in welchem sie gemessen wird. Dasselbe gilt auch für die potentielle Energie mgh, denn auch hier kann man den Bezugspunkt ab dem man h misst, willkürlich festlegen. Ähnliches gilt auch für die anderen Energieformen.
Dein Paradoxon beim freien Fall löst sich, wenn du kinetische und potentielle Energie zum zum selben Zeitpunkt vergleichst. Beim freien Fall gilt \(s = 1/2\ gt^2 \). Wenn du das in die Formel mgh einsetzt, bekommst du die potentielle Energie des fallenden Körpers zum Zeitpunkt t:
\(E_{pot}(t) = 1/2 mg^2 t^2\).
Für die Geschwindigkeit beim freien Fall gilt \(v = gt\). Wenn du das in die Formel \(1/2\ mv^2 \) einsetzt, bekommst du die kinetische Energie des fallenden Körpers zum Zeitpunkt t:
\(E_{kin}(t) = 1/2 mg^2 t^2\).
Du siehst, dass zum gleichen Zeitpunkt t beide Energien gleich sind. ─ stefriegel 16.07.2023 um 20:04
Dein Paradoxon beim freien Fall löst sich, wenn du kinetische und potentielle Energie zum zum selben Zeitpunkt vergleichst. Beim freien Fall gilt \(s = 1/2\ gt^2 \). Wenn du das in die Formel mgh einsetzt, bekommst du die potentielle Energie des fallenden Körpers zum Zeitpunkt t:
\(E_{pot}(t) = 1/2 mg^2 t^2\).
Für die Geschwindigkeit beim freien Fall gilt \(v = gt\). Wenn du das in die Formel \(1/2\ mv^2 \) einsetzt, bekommst du die kinetische Energie des fallenden Körpers zum Zeitpunkt t:
\(E_{kin}(t) = 1/2 mg^2 t^2\).
Du siehst, dass zum gleichen Zeitpunkt t beide Energien gleich sind. ─ stefriegel 16.07.2023 um 20:04
Das Triebwerk verbrennt eine konstante Menge an Treibstoff pro Zeiteinheit und stößt diese nach hinten aus.
Das erzeugt einen konstanten Impuls, resultierend in einer konstanten Kraft F in Gegenrichtung, die sich aus Masse * Geschwindigkeit der ausströmenden Abgase ergibt.
Es gilt F=m*a bzw. a= F / m.
F und m sind konstant, also ist auch a konstant.
Die Beschleunigung, also die Geschwindigkeitszunahme bleibt also zu jedem Zeitpunkt gleich.
Somit benötigt die Rakete bei konstanter Verbrennung für die Beschleunigung von 0 auf 50 km/h dieselbe Zeit wie für die Beschleunigung von 50 auf 100 km/h.
Da der Verbauch pro Zeiteinheit ebenfalls konstant ist, müsste auch der Verbrauch für beide oben genannten Beschleunigungen gleich sein.
─ usera50333 09.07.2023 um 07:11