Glühwein im U-Rohr

Erste Frage Aufrufe: 228     Aktiv: 01.01.2024 um 22:02
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Eine U-Rohr ist mit Glühwein gefüllt, der sich reibungsfrei darin bewegen kann, siehe Abbildung. Die Höhe der Glühweinsäule wird druch x(t) bezeichnet, mit x=0 im Gleichgewicht. Die Länge der Glühweinsäule ist L, die Dichte von Glüchwein ist g und die Querschnittsfläche des U-Rohrs ist A. 

a) Rechnen Sie die Kraft auf der Säule in Abhängigkeit von x aus.




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Berechne die Querschnittsfläche des U-Rohrs, multilpliziere sie mit der Höhendifferenz, um das Flüssigkeitsvolumen zu bekommen und mit der Dichte, um die Masse bzw. Gewichtskraft zu bekommen. Alles nicht sehr schwer, du bekommst das hin. Na dann Prost und komm gut ins neue Jahr. Kannst uns ja dein Ergebnisse schreiben.
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Mit welchen Variablen?   ─   userb83343 31.12.2023 um 11:59
Mit den angegebenen Variablen
Querschnittsfläche: \(A\)
Höhendifferenz: \(2x\)
Dichte: \(\rho\)
Erdbeschleunigung: \(g\)
hast du alles was du brauchst, um die Gewichtskraft der Säule auszurechnen.   ─   stefriegel 31.12.2023 um 14:02
Vielen Dank.
Und wie bringe ich das in Abhängigkeit von x?   ─   userb83343 31.12.2023 um 14:48
Der erste Schritt ist das Volumen der überstehenden Flüssigkeitssäule auszurchnen.
Das Volumen der Säule ist ihre Höhe mal ihre Querschnittsfläche. \(V=2x\cdot A\)   ─   stefriegel 31.12.2023 um 18:44
Vielen Dank, aber komme leider überhaupt nicht weiter. Wieso benötige ich das Volumen für die Gewichtskraft?   ─   userb83343 31.12.2023 um 22:10
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Sagt dir der Begriff "Dichte" etwas und wie man damit ein Volumen in eine Masse umrechnet? Dir scheinen die wesentlichen Grundlagen der Physik zu fehlen. Ich glaube, dann bringt es nichts, wenn wir dir hier jeden Mikroschritt vorrechnen. Sorry, ich möchte dir nicht zu nahe treten, aber du brauchst einen persönlichen Nachhilfelehrer, der dir die Grundlagen erklärt.   ─   stefriegel 01.01.2024 um 00:45
Ja das ist alles richtig. Ich bin im ersten Semester Physik (konnte bis dato die Aufgaben gut lösen), konnte nun eine Weile lang nicht da sein, und möchte nun die Aufgabe lösen. Davor war ich zehn Jahre nicht in der Schule und nur schlecht in Mathe. Einen Nachhilfelehrer zu finden in dieser Woche wird schwierig.

Ich denke mal es geht um das Thema harmonischer Oszillator und um das Wasserpendel.

Die dort wirkende Kraft ist die Rückstellkraft (https://de.wikipedia.org/wiki/Rückstellkraft) = F(t) = -m x g. (wieso F(t) verstehe ich nicht)

Nach dem Wasserpendel (https://de.wikipedia.org/wiki/Wasserpendel) würde die Kraft auf der Säule so lauten:

F(t) = -x (t) A p g (Nicht 2x, da nach dem Wasserpendel ja lediglich die halbe Höhe der überstehenden Wassersäule benötigt wird, wenn ich das richtig verstehe?

Sollte das aber korrekt sein, muss ich nun F(x) statt F(t) angeben, richtig?   ─   userb83343 01.01.2024 um 10:34
In der Aufgabe a) ist die Kraft in Abhängigkeit von der Höhe \(x\) gesucht, also \(F(x)\). In dieser Teilaufgabe findet keine Bewegung statt. Deswegen ist hier \(x\) konstant und hängt nicht von der Zeit \(t\) ab. Die Zeit kommt erst bei der Aufgabe b) ins Spiel.

Die Gewichtskraft wird durch die gesamte Wassersäule im linken Schenkel erzeugt, die um \(2x\) höher als im rechten Schenkel steht. Deswegen ist die Gewichtskraft \(F(x) = -2x A \rho g \).   ─   stefriegel 01.01.2024 um 11:51
Hey! VIelen Dank. Nennt sich diese Gewichtskraft dann auch Rückstellkraft?   ─   userb83343 01.01.2024 um 12:02
Ja, diese Gewichtskraft nennt sich im Zusammenhang mit einem Pendel die Rückstellkraft, weil sie den Ausschlag des Pendels (in diesem Fall die Auslenkung der Wassersäule aus dem Gleichgewichtszustand) wieder in die Ruhelage zurückführen möchte.

Bei der Aufgabe b) musst du eine Gleichung der Form ma = F aufstellen. Da die Beschleunigung a die zweite Ableitung der Auslenkung x ist, ergibt sich daraus eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, was typisch für Schwingungen ist. Ein Pendel ist ein "harmonischer Oszillator", wenn die Rückstellkraft linear proportional zur Auslenkung ist.   ─   stefriegel 01.01.2024 um 14:39
Aber dann sind wir schon bei der DGL? Die Bewegungsgleichung lautet: F(t)= -2x(t)Apg?   ─   userb83343 01.01.2024 um 14:41
Nein, das ist eine Kraftgleichung.
In einer Bewegungsgleichung wird x als Funktion der Zeit dargestellt. Zum Beispiel lautet die Bewegungsgleichung eines frei fallenden Körpers \(x(t)=h_0 - \frac{1}{2}gt^2\).

Um beim Pendel zu einer Bewegungsgleichung zu kommen, musst du in der Kraftgleichung die Kraft durch \(F = ma = m \ddot x(t) \) ersetzen und schon hast du eine DGl, die dann zu lösen ist.   ─   stefriegel 01.01.2024 um 19:28
Lieber stefriegel,

Vielen herzlichen Dank für Ihre Hilfe.

Nach https://de.wikipedia.org/wiki/Wasserpendel (und nach deiner Aussage) wäre die Bewegungsgleichung $$-2x(t)Apg = m_{ges} \cdot\ (\ddot{x}(t)) $$ und gleichzeitig die DGL.

Allerdings habe ich bis dato verstanden, dass die Bewegungsgelichung immer eine andere darstellt, als die DGL.   ─   userb83343 01.01.2024 um 21:44
Ja, die Bewegungsgleichung stellt \(x(t) \) explizit als Funktion der Zeit dar und ist die Lösung dieser DGl.
Und zwar hat eine DGl der Form \(\ddot x + \omega ^2 x=0\) die Lösung
\(x(t) = x(0) \cdot cos(\omega t) \)
Wenn du deine DGl jetzt in diese Form bringst, hast du die Bewegungsgleichung und kannst durch Vergleich der Faktoren sogar die Schwingungsfrequenz deines Glühweins ablesen :-). Na denn Prost und auf ein gutes neues Jahr für dich!   ─   stefriegel 01.01.2024 um 22:02

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