Die DGL des harmonischen Oszillators hat die Form

\( \ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2x=f(t) \)

Dabei stellt \(\gamma\) den Reibungskoeffizienten dar. (Faktor 2 ist nur dazu da, dass es sich schöner rechnen lässt)

Eine solche DGL löst man, indem man zuerst den homogenen Teil löst und dann eine partikuläre Lösung zusätzlich findest und beide dann addiert. Lösen kann man das durch den gewöhnlichen Exponentialansatz der immer so schön vom Himmel fällt \(x(t)=Ae^{\lambda t} \)

Einsetzen in den homogenen Teil der DGL

\(\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega_0^2=0\)

Das löst man bekanntlich durch die Mitternachtsformel. Dabei muss man bei der Diskriminaten die Fälle unterscheiden

\( D>0 \)

\(D=0 \)

\(D<0\)

Der Schwingfall tritt ein, wenn \(D<0 \) eintritt. Dadurch haben wir zwei komplexe Lösungen. Die Lösung der DGL Gleichung hat dann irgendwie die Form \( x_{homo}(t)=e^{-\gamma t}(A_1e^{i\omega t}+A_2e^{-i\omega t}) \) mit \( \omega=\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}\)

Dann müsste man noch eine partikuläre Lösung finden, aber die ist hier jetzt nicht unbedingt nötig zur Erklärung.

Zur a) Die gezeichnete Lösung entspricht dem homogenen Teil der Lösung. Also eine Oszillation die exponentiell abklingt. Die partikuläre Lösung hat irgendwie die Form \( x_{part}(t) \propto sin(\omega t) \) und die allgemeine Lösung entsprechend \( x(t)=x_{homo}(t)+x_{part}(t) \). Wenn du nun die vollständige Lösung anschaust und \( t\rightarrow \infty \) betrachten würdest, so wäre der exponentielle Term Null, aber der Sinus würde nach wie vor oszillieren mit seiner Amplitude. 

b) Habe ich im Grunde schon in a) zum Schluss erklärt. Der homogene Teil ist irgendwann Null und die spezielle (=partikuläre) Lösung würde einfach weiterhin oszillieren. Im Grunde müsstest du das gleiche zeichnen wie beim vorgegebenen Graphen nur, dass am Ende eine nicht abklingende Oszillation für \( t\rightarrow \infty \) stattfindet.

c)Amplitude ist unabhängig von der Frequenz, somit nein. (Kann man auch mathematisch herleiten, aber das ist mit Aufwand verbunden der nicht 1 einzigen Punkt rechtfertigt)