Hat man mehrere Teilchen mit Masse \(m_i\) an den Orten \(\vec{r}_i\), so errechnet sich dessen Schwerpunkt mit

\(\vec{r}_s=\frac{\sum_i m_i\vec{r}_i}{\sum_i m}=\frac{\sum_i m_i\vec{r}_i}{M} \)

Dabei ist \( M\) offensichtlich die Gesamtmasse dieser Teilchen.

Handelt es sich um einen Körper mit kontinuierlicher Massenverteilung, so nähert man die Summe durch ein Integral an.

d.h. \( \sum_i m_i\vec{r}_i\rightarrow\int \vec{r}dm=\int \vec{r}\rho(r)d^3r \)

und \(\sum_i m_i\rightarrow \int dm=\int\rho(r)d^3r= M \)

d.h. \(\vec{r_s}=\frac{\int\vec{r}\rho(r)d^3r}{M} \)

Das ist die allgemeine Herleitung für alle 3 Achsen, die du wahrscheinlich auch in der Vorlesung hattest. Da wir uns im Eindimensionalen befinden vereinfacht sich das ganze mit

\(\rho(r)\rightarrow \lambda(x)\)

\(d^3r\rightarrow dx\)

also

\(x_s=\frac{\int x\lambda(x)dx}{\int\lambda(x)dx}\)

Integral auswerten schaffst du nun auch alleine und die passenden Grenzen sicher auch.