In einem Lehrbuch steht folgende Herleitung des Drehimpulses im Schwerpunktsystem: 
$$\vec L=\displaystyle\sum_i(\vec r_i\times \vec p_i)=\sum_im_i(\vec r_i\times \vec v_i)=\sum _im_i(\vec R_S+\vec r _{iS})\times (\vec V_S+\vec v_{iS})=M(\vec R_S\times \vec V_S)+\displaystyle \sum_im_i(\vec r_{iS}\times \vec v_{iS})+\sum_im_i(\vec R_S\times \vec v_{iS})+\sum_im_i(\vec r_{iS}\times \vec V_S),$$ 
wobei die Transformationen $\vec r_i=\vec R_S+\vec r_{iS}$ und $\vec v_i=\vec V_S+\vec v_{iS}$ zwischen Laborsystem und Schwerpunktsystem gelten. 
Jetzt fallen die hinteren beide Terme weg, sodass man $$\vec L=M(\vec R_S\times \vec V_S)+\displaystyle \sum_im_i(\vec r_{iS}\times \vec v_{iS})$$ 
erhält. Dies macht für mich Sinn, jedoch bringt es mich durcheinander, dass der Term $\displaystyle \sum_im_i(\vec r_{iS}\times \vec v_{iS})$ nicht auch wegfällt, da $\displaystyle \sum_im_i\vec r_{iS}=\vec 0$. Mache ich hier einen Denkfehler?