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Dabei ist \(\rho\) die Dichte des Fluids, w die Strömungsgeschwindigkeit und \(\zeta\) die "Widerstandszahl", die vermutlich begrifflich identisch ist mit dem "Druckverlustbeiwert", also \(\zeta=3\).
Daneben gibt es einen Druckverlust dadurch, dass sich die Flüssigkeit auf die Geschwindigkeit w beschleunigen muss: \(\displaystyle \Delta p_2 = \frac{\rho w^2}{2} \).
Dieser Druckverlust findet vor dem Eintritt in das Rohr statt.
Am Rohraustritt sollte man daher - durch Abbremsen - einen entsprechenden Druckgewinn erwarten. Aber dazu kommt es nicht, denn
- wenn der Rohraustritt noch über dem Wasserspiegel liegt, wird die Flüssigkeit nicht abgebremst, bis sie auf den Wasserspiegel pladdert. Dort geht die kinetische Energie durch Reibung verloren.
- wenn der Rohraustritt unter dem Wasserspiegel liegt, wird die Flüssigkeit zwar abgebremst, aber es entsteht ein turbulenter Freistrahl, in dem alle kinetische Energie durch Reibung aufgebraucht wird.
Die Reibung durch das Rohr selbst vernachlässige ich, weil man zu deren Berechnung die Rohrlänge bräuchte, die nicht angegeben ist.
Es gilt also für den Gesamt-Druckverlust: \(\displaystyle \Delta p = \Delta p_1 + \Delta p_2 = \ \frac{\rho (\zeta+1) w^2}{2} \)
Ferner gehe ich davon ausgehen, dass das Rohr innen einen kreisförmigen Querschnitt hat. Dann ergibt sich eine Querschnittsfläche von \(A=\pi(4 \,\mbox{mm})^2\). Dann ergibt einen Volumenstrom von: \( Q = Aw \).
Sei \(h_v\) die Höhe des Wasserspiegels des anfangs vollen Behälters, \(h_l=1\,\mbox{m} - h_v \) die Höhe des Wasserspiegels des anfangs leeren Behälters, und g die Erdbeschleunigung.
Der Druck \(\Delta p\), der die Strömung im Rohr antreibt, beträgt dann in der ersten Phase (also solange \(h_l<250\,\mbox{mm}\)): \( \Delta p = (h_v-250\,\mbox{mm}) \rho g \)
Und in der zweiten Phase: \( \Delta p = (h_v-h_l) \rho g \)
Aus \(h_v\) ergibt sich \(h_l\).
Aus \(h_v\) und \(h_l\) ergibt sich \( \Delta p\).
Aus \( \Delta p\) ergibt sich w.
Aus w ergibt sich Q.
Aus Q und dem Behälter-Querschnitt \( B=\pi(75\,\mbox{mm})^2\) ergibt sich \(\displaystyle \frac{d h_v}{dt} = \frac{Q}{B}\).
Damit hast Du eine Differentialgleichung, die man durch Separation der Variablen recht leicht lösen kann.
Punkte: 32
das passt nicht wirklich jetzt zur Frage, aber ich wollte Fragen. Hast du Discord oder Skype oder Zoom? Ich würde dir gerne da Fragen stellen oder wenn es geht würde ich manchmal sogar für Nachhilfe in Physik oder Mathe auch zahlen :D.
─ cekdo744 15.11.2023 um 18:48
Allerdings sprichst Du einen wichtigen Punkt an. Ich hatte ja geschrieben, dass man dynamische Effekte vernachlässigen kann. Da habe ich mich wohl geirrt.
Wenn w die Geschwindigkeit im Rohr ist, dann hat man ja zunächst einen Druckverlust durch Torricelli: \(\displaystyle \Delta p_1= \frac{\rho w^2 }{2}\).
Und dann den Druckverlust durch das Sieb: \(\displaystyle \Delta p_2 = \frac{\rho \zeta w^2 }{2}\).
Macht zusammen: \(\displaystyle \Delta p = \Delta p_1 + \Delta p_2 = \frac{\rho (\zeta+1) w^2 }{2}\).
Auflösen nach w ergibt: \(\displaystyle w=\sqrt{\frac{2 \Delta p}{\rho (\zeta+1)}}\).
Das gilt in jedem Falle in der ersten Phase.
Was nun in der zweiten Phase gilt, hängt davon ab, ob die Strömung am Rohr-Austritt turbulent ist. Wenn ja, dann gilt die gleiche Formel. Wenn nein, dann gilt: \(\displaystyle w=\sqrt{\frac{2 \Delta p}{\rho \zeta}} \).
Hier muss ich leider noch mal nachdenken - sorry für die Konfusion. ─ m.simon.539 04.11.2023 um 01:11