Strömungslehre

Erste Frage Aufrufe: 292     Aktiv: 15.11.2023 um 18:48

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Hallo zusammen,
kann mir jemand bei der unteren Aufgabe weiter helfen? (Wie muss ich den Druckverlust mit einberechnen?)
Zwei oben offene, baugleiche, zylindrische Behälter sind über eine Rohrbrücke mit integriertem Siebfilter miteinander verbunden.

Die Behälter haben eine Höhe von einem Meter.
Der Behälterinnendurchmesser beträgt 150 mm.
Die Rohrbrücke hat einen Innendurchmesser von 8 mm und befindet sich auf einer Höhe von 250 mm.
Der Druckverlustbeiwert des Siebfilters beträgt 3.
Zu Anfang ist ein Behälter komplett mit Wasser gefüllt, der andere Behälter ist leer und die Brücke ist geschlossen. Die Brücke ist immer vollständig mit Wasser gefüllt.
Dichte von Wasser 1000 kg /m³ Erdbeschleunigung 9,81 m /s^2
Die Brücke wird geöffnet.

Welche Füllhöhe (Spiegelung )wird sich in den Behälter einstellen?

Wie lange dauert es, bis der zweite Behälter bis zur Brücke gefüllt ist? Berechnen Sie die Lösung aus der Differenzzeit einer gedachten, vollständigen Entleerung des ersten Behälters in Freie.

Wie lange dauert es, bis der zweite Behälter von der Brücke bis zur Spiegelung gefüllt ist? Wie groß ist damit die gesamte Prozesszeit?

 
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In meinem Buch "Einführung in die Strömungsmechanik, K. Gersten, 1989", habe ich folgende Formel für den Druckabfall durch Reibung gefunden: \(\displaystyle \Delta p_1 =  \frac{\rho \zeta w^2}{2} \).
Dabei ist \(\rho\) die Dichte des Fluids, w die Strömungsgeschwindigkeit und \(\zeta\) die "Widerstandszahl", die vermutlich begrifflich identisch ist mit dem "Druckverlustbeiwert", also \(\zeta=3\).

Daneben gibt es einen Druckverlust dadurch, dass sich die Flüssigkeit auf die Geschwindigkeit w beschleunigen muss: \(\displaystyle \Delta p_2 =  \frac{\rho w^2}{2} \).
Dieser Druckverlust findet vor dem Eintritt in das Rohr statt.

Am Rohraustritt sollte man daher - durch Abbremsen - einen entsprechenden Druckgewinn erwarten. Aber dazu kommt es nicht, denn
  • wenn der Rohraustritt noch über dem Wasserspiegel liegt, wird die Flüssigkeit nicht abgebremst, bis sie auf den Wasserspiegel pladdert. Dort geht die kinetische Energie durch Reibung verloren.
  • wenn der Rohraustritt unter dem Wasserspiegel liegt, wird die Flüssigkeit zwar abgebremst, aber es entsteht ein turbulenter Freistrahl, in dem alle kinetische Energie durch Reibung aufgebraucht wird.

Die Reibung durch das Rohr selbst vernachlässige ich, weil man zu deren Berechnung die Rohrlänge bräuchte, die nicht angegeben ist.

Es gilt also für den Gesamt-Druckverlust: \(\displaystyle  \Delta p = \Delta p_1 + \Delta p_2 = \ \frac{\rho (\zeta+1) w^2}{2} \)

Ferner gehe ich davon ausgehen, dass das Rohr innen einen kreisförmigen Querschnitt hat. Dann ergibt sich eine Querschnittsfläche von \(A=\pi(4 \,\mbox{mm})^2\). Dann ergibt einen Volumenstrom von: \( Q = Aw \).

Sei \(h_v\) die Höhe des Wasserspiegels des anfangs vollen Behälters, \(h_l=1\,\mbox{m} - h_v \) die Höhe des Wasserspiegels des anfangs leeren Behälters, und g die Erdbeschleunigung.

Der Druck \(\Delta p\), der die Strömung im Rohr antreibt, beträgt dann in der ersten Phase (also solange \(h_l<250\,\mbox{mm}\)): \( \Delta p = (h_v-250\,\mbox{mm}) \rho g \)
Und in der zweiten Phase: \( \Delta p = (h_v-h_l) \rho g \)

Aus \(h_v\) ergibt sich \(h_l\).
Aus \(h_v\) und \(h_l\) ergibt sich \( \Delta p\).
Aus \( \Delta p\) ergibt sich w.
Aus w ergibt sich Q.
Aus Q und dem Behälter-Querschnitt \( B=\pi(75\,\mbox{mm})^2\) ergibt sich \(\displaystyle \frac{d h_v}{dt} = \frac{Q}{B}\).

Damit hast Du eine Differentialgleichung, die man durch Separation der Variablen recht leicht lösen kann.

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Punkte: 32

 

Nein. Torricelli gilt im reibungslosen Fall. Ein Sieb aber produziert jede Menge Reibung.
Allerdings sprichst Du einen wichtigen Punkt an. Ich hatte ja geschrieben, dass man dynamische Effekte vernachlässigen kann. Da habe ich mich wohl geirrt.

Wenn w die Geschwindigkeit im Rohr ist, dann hat man ja zunächst einen Druckverlust durch Torricelli: \(\displaystyle \Delta p_1= \frac{\rho w^2 }{2}\).
Und dann den Druckverlust durch das Sieb: \(\displaystyle \Delta p_2 = \frac{\rho \zeta w^2 }{2}\).
Macht zusammen: \(\displaystyle \Delta p = \Delta p_1 + \Delta p_2 = \frac{\rho (\zeta+1) w^2 }{2}\).
Auflösen nach w ergibt: \(\displaystyle w=\sqrt{\frac{2 \Delta p}{\rho (\zeta+1)}}\).
Das gilt in jedem Falle in der ersten Phase.
Was nun in der zweiten Phase gilt, hängt davon ab, ob die Strömung am Rohr-Austritt turbulent ist. Wenn ja, dann gilt die gleiche Formel. Wenn nein, dann gilt: \(\displaystyle w=\sqrt{\frac{2 \Delta p}{\rho \zeta}} \).
Hier muss ich leider noch mal nachdenken - sorry für die Konfusion.
  ─   m.simon.539 04.11.2023 um 01:11

Die Reynoldszahl am Rohraustritt beträgt ~10.000, damit sollte die Strömung turbulent sein. Man hat also an der Rohraustrittsöffnung einen turbulenten Freistrahl. In turbulenten Freistrahlen hat man überall den gleichen dynamischen Druck. Damit immer die Formel: \(\displaystyle w=\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho(\zeta+1)}}\). Ich passe meine Antwort noch an.   ─   m.simon.539 04.11.2023 um 01:35

Antwort angepasst.   ─   m.simon.539 04.11.2023 um 16:36

Hey Simon,

das passt nicht wirklich jetzt zur Frage, aber ich wollte Fragen. Hast du Discord oder Skype oder Zoom? Ich würde dir gerne da Fragen stellen oder wenn es geht würde ich manchmal sogar für Nachhilfe in Physik oder Mathe auch zahlen :D.

  ─   cekdo744 15.11.2023 um 18:48

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