Optik Linsenformel

Aufrufe: 784     Aktiv: 17.08.2022 um 09:12
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Aufgabe

Kann mir jemand die untenstehende Lösung erklären bzw. den physikalischen Hintergrund erläutern? Mathematisch kann ich alles nachvollziehen. 

(Zuerst mein Gedanken: sobald etwas scharf ist, ist der Brennpunkt auf dem Bild? Daher dachte ich, dass f=2cm gleich gross wie b wäre. Gemäss der Linsenformel 1/f = 1/g + 1/b gäbe jedoch g=0, das kann nicht sein? Die 16cm habe ich als g (Gegenstandsweite) notiert. Mein zweiter Versuch war das simple Einsetzen in die Linsenformel (habe nur die Zahlen genommen und alles andere ignoriert), mein Ergebnis war dann g=2.29cm und komischerweise identisch mit der Lösung von unten? Wie das Okular verschoben werden muss, wusste ich so nicht.)

Lösung:

EDIT vom 25.07.2022 um 20:08:


Quelle: https://www.leifiphysik.de/optik/optische-linsen/ausblick/mikroskop

EDIT vom 16.08.2022 um 15:48:

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Ja, das passt. Das Auge hat die Eigenschaft, dass es im entspannten Zustand parallel ankommende Strahlen scharf auf die Netzhaut abbildet. So sieht es bei deinem Fernrohr aus:

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Wow! Vielen Dank für die Hilfe und diese geniale Darstellung! Hat mir extrem weitergeholfen :)   ─   nas17 25.07.2022 um 23:17
Ich hätte doch noch eine Frage: Wie erkenne ich, dass das Okular nun zum Schirm hin bewegt wird (um den Wert von g)?   ─   nas17 25.07.2022 um 23:29
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Wenn man g vergrößert, wird b verkleinert. Diesen Zusammenhang kannst du dir zeichnerisch klar machen oder mit der Linsenformel. Auf dem Bild oben ist g = 2cm und b = unendlich. Damit das Bild auf dem Schirm scharf wird, musst du b verkleinern, also g vergrößern. Das schaffst du, indem du das Okular nach rechts bewegst.   ─   stefriegel 26.07.2022 um 08:33
Bedeutet dies im Umkehrschluss, dass das Bild vor dem Verschieben des Okulars hinter der Netzhaut abgebildet war (und somit unscharf)? Dann hat man g vergrössert und dann ist der Punkt auf die Netzhaut gekommen, wobei das scharfe Bild entsteht?   ─   nas17 26.07.2022 um 10:41
Nein, vor dem Verschieben des Okulars wird das Bild scharf auf die Netzhaut abgebildet, so wie in meiner Skizze. Dann nimmt man das Auge weg und stellt stattdessen 16 cm hinter dem Okular einen Schirm auf. Auf diesem Schirm ist das Bild unscharf, weil b = unendlich ist. Dann verschiebt man das Okular nach rechts bis das Bild auf dem Schirm scharf ist. Das Auge ist nicht mehr da.   ─   stefriegel 26.07.2022 um 11:11
Achso, jetzt ist es klar. Dann macht es auch Sinn, dass bei deiner Skizze kein Schirm ist. :)
Bei b=unendlich ist es intuitiv logisch, dass ich g vergrössern muss um b zu verkleinern, denn unendlich kann ich ja nicht vergrössern. Wenn b=1000 wäre, würde ich dann analog vorgehen?

Vielen Dank für deine Geduld. Diese Aufgabe ist die Letzte in unserem Optik-Skript und meiner Meinung auch die Schwierigste. Habe generell mit Optik mehr Mühe als mit den anderen Bereichen der Physik...
  ─   nas17 26.07.2022 um 11:46
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Sehr gerne :)
Wenn b=1000 wäre und der Schirm steht bei 16, wäre das Bild ebenfalls unscharf und du müsstest b verkleinern, indem du g vergrößerst. Damit du ein intuitives Gefühl für diese Veränderungen bekommst, empfehle ich dir, ein bisschen mit dieser GeoGebra-App zu spielen: https://www.geogebra.org/m/u4qqbamp
Am besten klickst du das Kästchen "Strahlengang" an, um die Strahlen zu sehen.   ─   stefriegel 26.07.2022 um 12:29
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Super Link! Jetzt verstehe ich es "komplett" ;)
   ─   nas17 26.07.2022 um 13:40
Hätte zu diesem Thema noch eine Frage und zwar zum Bild im EDIT. Hier ist die Antwort a) korrekt.
Sobald Optik-Aufgaben mit Sensor etc. kommen, bin ich manchmal verunsichert.
Ich weiss, dass bei Kurzsichtigkeit das Bild vor der Netzhaupt abgebildet wird und die Brechkraft zu gross ist, folglich nimmt man Zerstreuungslinsen, um die Brechkraft zu minimieren. Ich das hier dasselbe Prinzip? Um die Brechkraft zu senken, verringere ich die Bildweite? Im Gegensatz zum Auge kann ich die Brennweite nicht ändern?
Kann ich mir auch solche Aufgaben mit deinem Geogebra-Link darstellen lassen?   ─   nas17 16.08.2022 um 15:54
Du siehst auf dem Bild, dass die Blumen im Vordergrund, die also nahe an der Linse sind und eine geringe Gegenstandsweite haben, scharf abgebildet werden. Nun möchtest du die Blumen im Hintergrund, die eine große Gegenstandsweite haben, scharf abbilden. Schau dir die Linsenformel gut an: Wie ändert sich die Bildweite b, wenn man die Gegenstandsweite g vergrößert? Sie wird kleiner. Also muss der Sensor näher an die Linse ran.
Du kannst es dir auch in GeoGebra veranschaulichen: Vergrößere den Abstand des Männchens von der Linse. Was macht dann der Schirm?   ─   stefriegel 16.08.2022 um 17:30
Wenn ich den Abstand des Männchens von der Linse vergrössere, also die Gegenstandsweite vergrössere, kommt der Schirm näher zum Brennpunkt (die Bildweite wird kleiner) und das Männchen wird auch kleiner. Bedeutet das, dass ich weite Objekte auch kleiner darstellen muss, weil sie in der Realität auch kleiner sind (auf die optische Wahrnehmung bezogen). Die Linse ist mir klar, wo wäre jedoch der Sensor bei der Geogebra App? Wie muss ich diesen verstehen. Rein mathematisch ist logisch, dass ich bei der Linsenformel z.B. g vergrössern muss, wenn b verkleinert wird. Mir fällt schwer zu erkennen, welchen Wert ich wie verändern muss, um ein scharfes Bild zu erhalten. Der Schirm erfüllt doch immer die Linsengleichung bei Geogebra?
Kann man bei der Kamera sagen, dass die Bildweite immer der Abstand vom Sensor zur Kameralinse ist und dann die Gegenstandsweite der Abstand von der Linse zum fotografierenden Gegenstand?   ─   nas17 16.08.2022 um 17:47
Die Gegenstandsweite ist der Abstand des Gegenstands von der Linse. Die Bildweite ist der Abstand des Bilds von der Linse. Wenn beide Größen die Linsengleichung erfüllen, bekommst du ein scharfes Bild. In GeoGebra ist der Sensor dort, wo der Schirm ist, denn dort soll das Bild entstehen. Das Bild ist scharf, wenn sich die Strahlen dort treffen, wo der Schirm steht.   ─   stefriegel 16.08.2022 um 18:05
Achso, die Strahlen treffen auf den Sensor, wo dann das Bild entsteht.
Nur bei Geogebra treffen die Strahlen immer auf den Schirm? Egal wie ich die Gegenstandsweite verändere? Es ändert isch nur die Grösse des Männchens, nicht aber die Qualität seiner Abbildung?
Kann es sein, dass es der "Schärfe-Effekt" bei dieser Geogebra-Animation nicht dargestellt werden kann?
Habe das hier gefunden, wo eine Kamera abgebildet ist: https://www.geogebra.org/classic/jWNFevFP   ─   nas17 16.08.2022 um 18:17
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Meine erste Geogebra-Animation stellt immer die Situation einer scharfen Abbildung dar, also dass die Linsengleichung gerade erfüllt ist.
Bei deiner Geogebra-Animation erhält man ein scharfes Bild, wenn sich der Sensor genau am Ort des roten Pfelis befindet. Steht der Sensor vor oder hinter dem roten Pfeil, ist das Bild auf dem Sensor unscharf.   ─   stefriegel 16.08.2022 um 23:37
Super, danke vielmals! Jetzt ist einiges klarer geworden. Habe mir alle deine Kommentare nochmals durchgelesen und verstehe es jetzt viel besser. Nur noch eine Abschlussfrage: Kann man bei dieser Frage ausschliessen, dass der Sensor vor dem roten Pfeil ist? Klar ist die Wahrscheinlichkeit grösser, wenn der Gegenstand weit entfernt ist? Aber es besteht doch eine geringe Chance? Wenn ich nämlich die Linsenposition ganz nahe an die Kamera mache (möglichst kleine Bildweite) ist der Sensor leicht hinter dem roten Pfeil und somit nicht ganz scharf. Ich hoffe, du weisst auf was ich hinaus möchte. Oder würde man dann sagen, in diesem Fall ist das Bild auf dem Sensor "fast scharf" und nicht "unscharf", darum kann man diese Möglichkeit ausschliessen.   ─   nas17 16.08.2022 um 23:59
Der Sensor kann sich natürlich auch vor dem roten Pfeil befinden. Du kannst es mit der zweiten Geogebra-App ausprobieren. Das Bild ist dann unscharf. Immer wenn sich die Strahlen nicht genau auf dem Schirm bzw. Sensor kreuzen, ist das Bild unscharf. Die Linsengleichung ist dann nicht erfüllt.   ─   stefriegel 17.08.2022 um 08:56
Ja genau, ich meinte nur, dass in der Aufgabe ja nirgends steht, dass sich die Strahlen vor oder hinter dem Sensor treffen?   ─   nas17 17.08.2022 um 09:12

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Deine erste Annahme, dass etwas scharf ist, wenn der Brennpunkt auf dem Bild ist, ist falsch.

Vor dem Verschieben des Okulars ist es so, dass sich das Zwischenbild im Brennpunkt vor dem Okular befindet und hinter dem Okular die Strahlen parallel verlaufen, d.h. b = unendlich ist, und damit ist die Linsenformel 1/f = 0 + 1/g.
Man sieht in den Mond dann scharf, weil unsere Augenlinse das paralelle Licht nochmals bündelt, sodass es scharf auf die Netzhaut trifft.

Nach dem Verschieben des Okulars ist weder das Zwischenbild noch der Schirm im Brennpunkt. Aber das Bild ist scharf, weil gerade die Linsenformel 1/f = 1/b' + 1/g' erfüllt ist. (b' und g' sollen die verschobenen Weiten sein).
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"Zwischenbild" haben wir im Unterricht meines Wissens nicht behandelt. Meint man damit das virtuelle Bild, welches entsteht, wenn das Objekt vor dem Brennpunkt ist? Ich kann mir diese Aufgabe leider nicht gut vorstellen... Der Schirm ist für mich auch nicht ganz klar. Gemäss meiner Google-Suche ist das einfach der Ort, wo das Bild abgebildet wird?
Kann ich mir diese Aufgabe graphisch veranschaulichen lassen? In der Schule haben wir hiermit gearbeitet: https://phet.colorado.edu/sims/html/geometric-optics/latest/geometric-optics_de.html   ─   nas17 25.07.2022 um 19:54
Das "Zwischenbild" entsteht bei einem Fernrohr zwischen dem Objektiv und dem Okular dort, wo sich die Lichtstrahlen kreuzen. Es ist also das Bild des Objektivs und gleichzeitig der Gegenstand des Okulars.
Der "Schirm": Stelle dir eine Milchglasscheibe oder eine Leinwand vor, auf die die Lichtstrahlen fallen und auf dem man etwas sieht. Das ist der Schirm. Wenn der Abstand des Schirms von der Linse gerade die Linsengleichung erfüllt, schneiden sich dort die Lichtstrahlen und du siehst ein scharfes Bild auf dem Schirm.   ─   stefriegel 25.07.2022 um 20:02
Der Schirm ist nun klar. :)
Habe als EDIT noch ein Bild hinzugefügt von LEIFIphysik. Dort geht es um ein Mikroskop, deine Beschreibung passt meiner Meinung nach zu dem Bild? Hier fallen die Lichtstrahlen auch parallel in die Augenlinse, wie du es beschrieben hast?   ─   nas17 25.07.2022 um 20:10

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