Ja, die Begründung ist der Energieerhaltungssatz.

Die Gesamtenergie von Wasser und Eis bleibt wegen der Energieerhaltung während des gesamten Vorgangs konstant. Das heißt, dass das Wasser genau soviel Energie abgeben muss, wie der Eiswürfel zum Schmelzen und Erwärmen aufnimmt.

Genau das steht in der 3. Zeile:
\(c_w \cdot m_w \cdot \Delta \theta_1 \) ist die Energiemenge, die das heiße Wasser beim Abkühlen abgibt.
\(L_f \cdot m_{Eis}\) ist die Energiemenge, die das Eis zum Schmelzen benötigt.
\(c_w \cdot m_{Eis} \cdot \Delta \theta_2 \) ist die Energiemenge, die das geschmolzene Eis benötigt, um sich von 0°C auf die Endtemperatur zu erwärmen.

Die Temperaturen ändern sich dabei. Was gleich bleibt, ist die Gesamtenergie.