Ich kann deine Lösung nicht ganz verstehen, das Ergebnis sollte dir aber zu denken geben, denn du hast ja einen Kraftvektor mit x- und y-Komponente wenn ich das richtig sehe und das kann, wie es ja auch in der Lösung steht, nicht sein.

Zum Verständnis der Buchlösung würde ich dir dringend raten einfach mal alle Kräfte einzuzeichen, die auf $q_0$ wirken. 

Hier erkennt man dann ziemlich schnell:

1. $\vec{F}_3$ wirkt nur entlang der $x$-Achse
2. $\vec{F}_0$ und $\vec{F}_5$ wirken genau entgegengesetzt. Sie heben sich also auf, die Summe der Kräfte ist 0, die beiden Ladungen müssen nicht weiter betrachtet werden.
3. Bleiben noch $q_2$ und $q_4$. Wie sehen hier die Kraftvektoren aus? $\vec{F}_2$ zeigt nach unten rechts und $\vec{F}_4$ nach oben rechts. Hierbei fällt einem dann auf, dass die $y$-Komponenten von $\vec{F}_2$ und $\vec{F}_4$ wieder genau entgegensetzt sind und sich aufheben. Beide Kräfte haben also nur eine Wirkung in $x$-Richtung. Und dabei fällt jetzt zuletzt auf, dass die Wirkung in $x$-Richtung ja von beiden Kräften identisch ist. Wir können es also nur einmal den Betrag berechnen und dann mit zwei Multiplizieren.

Insgesamt erhalten wir also nur eine Kraft $F_{q_0}$ in $x$-Richtung, dessen Betrag sich aus den oben genannten Kräften zusammensetzt:

$F_{q_0}=F_3+2\cdot F_{2/4}$

Diese Kräfte gilt es jetzt zu berechnen:
$F_3$ ist sehr simpel, der Kraftvektor liegt ja entlang der $x$-Achse und damit ist der Betrag sofort

$F_3=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \dfrac{q\cdot q_0}{r^2}$

Bei dem anderen Vektor brauchen wir nur die $x$-Komponente, denn wie gesagt, die $y$-Komponenten heben sich hier auf.

$F_{2/4}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \dfrac{q\cdot q_0}{r^2}\cdot \cos(45°)$

Ich schaue mir deine Lösung nochmal an und versuche sie zu verstehen.