Im Endeffekt brauchst du zum Lösen dieser Aufgaben immer nur eine Formel, und zwar:

\(\Delta Q=c\cdot m\cdot \Delta T\)

Hierbei ist \(\Delta Q\) die Änderung der Wärmeenergie, \(c\) ist die spezifische Wärmekapazität (also einfach eine stoffabhängige Zahl), \(m\) ist die Masse des Stoffes und \(\Delta T\) ist die Temperaturänderung. Machen wir dazu ein einfaches Beispiel:
Wie viel Energie muss man \(500\mathrm{g}\) Wasser zuführen, um es um \(10^o \mathrm{C}\) zu erwärmen?
Die Wärmekapazität von Wasser beträgt ca \(c_W=4.19\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}}\). Das bedeutet: Um ein Gramm Wasser um ein Grad wärmer zu machen musst du \(4.19\) Joule Energie zuführen. Das selbe gilt natürlich auch umgekehrt: Wenn ein Gramm Wasser um ein Grad abkühlt gibt es \(4.19\) Joule Wärmeenergie ab.
Für die Aufgabe bedeutet das also: Die nötige Energie ist

\(\Delta Q=4.19\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}}\cdot500\mathrm{g}\cdot10\mathrm{K}=20950\mathrm{J}=20.95\mathrm{kJ}\)

Jetzt ist die Frage, was passiert beim Zusammengeben zweier Stoffe unterschiedlicher Temperatur? Wie du dir sicher denken kannst stellt sich eine Mischungstemperatur ein, die irgendwo zwischen den Anfangstemperaturen der zwei Stoffe liegt. Diese Mischungstemperatur nennen wir \(T_m\)
Diese Erkenntnis nutzen wir jetzt zum Aufstellen zweier Formeln. Wenn sich eine Mischungstemperatur einstellt bedeutet das ja, dass ein Stoff abkühlt und sich der andere erwärmt. Und genau dafür haben wir ja oben die Formel, die können wir direkt nutzen. Der Stoff der sich abkühlt gibt Wärme ab. Wir bezeichnen siesen Stoff mit dem Index \(1\). Eingesetzt in die obere Formel gilt also

\(\Delta Q_{\mathrm{ab}}=m_1\cdot c_1\cdot (T_1 - T_m)\)

Hierbei ist \(m_1\) die Masse vom Stoff der abkühlt und \(c_1\) die Wärmekapazität vom Stoff der abkühlt. Die Temperaturänderung können wir über \(T_1-T_m\) berechnen. Hier ist \(T_1\) die Anfangstemperatur von Stoff 1 und \(T_m\) die oben erklärte Mischungstemperatur. 

Jetzt machen wir das ganze noch für Stoff 2. Das geht genau so, nur dieser erwärmt sich. Somit musst du bei der Temperaturänderung tauschen, also mit \(T_m - T_2\) rechnen. Stoff 2 nimmt Wärme auf. Es gilt:

\(\Delta Q_{\mathrm{auf}}=m_2\cdot c_2\cdot (T_m-T_2)\)

Und jetzt weißt du folgendes: Es gilt der Energieerhaltungssatz. Wenn wir also davon ausgehen, dass keine Wärme an die Umgebung verloren geht, dann muss die Wärme die von Stoff 1 abgegeben wird vollständig von Stoff 2 wieder aufgenommen werden. Wir können die zwei Wärmen also gleichsetzen. Es gilt:

\(\Delta Q_{\mathrm{ab}}=\Delta Q_{\mathrm{auf}}\)
\(m_1\cdot c_1\cdot (T_1 - T_m)=m_2\cdot c_2\cdot (T_m-T_2)\)

Hiermit hast du jetzt eine universelle Formel, die bei Mischungsaufgaben einsetzen kannst. Diese Formel ist die "Richmannsche Mischungsregel". Du kannst jetzt immer so umformen, wie du es brauchst. Machen wir das ganze mal an deiner Beispielaufgabe. Wir schauen mal was gegeben ist. Kupfer ist der Stoff der Wärme abgibt, denn er ist der heißere von beiden. Kupfer ist also unser Stoff 1 und Wasser unser Stoff 2. Was wissen wir?

\(m_1 = 500\mathrm{g}\)        \(T_1=100^o\mathrm{C}\)
\(m_2 = 500\mathrm{g}\)        \(T_2=20.9^o\mathrm{C}\)

\(T_m=26.9^o\mathrm{C}\)

Gesucht: \(c_1=?\)

Wir formen also nach \(c_1\) um.

\(m_1\cdot c_1\cdot (T_1 - T_m)=m_2\cdot c_2\cdot (T_m-T_2)\)

\(c_1=\dfrac{m_2\cdot c_2\cdot(T_m-T_2)}{m_1\cdot(T_1-T_m)}\)

Mit der Annahme, dass \(c_2=4.19\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}\cdot K}\) kannst du alles einsetzen. Es gilt

\(c_1=\dfrac{500\mathrm{g}\cdot 4.19\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}}\cdot(26.9^o\mathrm{C}-20.9^o\mathrm{C})}{500\mathrm{g}\cdot(100^o\mathrm{C}-26.9^o\mathrm{C})}=0.344\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}}\)

Im Internet steht: \(c_{\mathrm{Kupfer}}=0.383\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}}\)
Ich würde sagen das ist nah genug dran.