"Gravitationsfeld - Erklärung, Berechnung (Physik)" von Think Logic auf Youtube
(Da ich nicht weiß ob man hier Links posten kann habe ich die Quelle so angegeben!)

Die Rechnung wird doch im Video erklärt.

Abstand zum Ursprung:

\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)

Damit ist der Betrag der Kraft:

\(||F||=G\cdot\dfrac{M\cdot m}{(\sqrt{x^2+y^2})^2}=G\cdot \dfrac{M\cdot m}{x^2+y^2}\)

Der Vektor zeigt in Richtung des Usprungs, damit ist

\(\vec{v}=\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}\)

Jetzt brauchst du aber zur Richtungsangabe der Kraft den Einheitsvektor, der Vektor muss also die Länge \(1\) haben, denn sonst veränderst du die Länge und die Länge muss der Kraft entsprechen. Um den Vektor auf die Länge \(1\) zu bringen, musst du mit dem Kehrwert des Betrages multiplizieren. Also:

\(\vec{g}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}\)

Für den Kraftvektor kannst du jetzt multiplizieren:

\(\vec{F}=||F||\cdot\vec{g}=G\cdot \dfrac{M\cdot m}{x^2+y^2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}=G\cdot \dfrac{M\cdot m}{(x^2+y^2)\cdot\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}\)

Den Nenner des Bruchs kannst du mit den Potenzgesetzen vereinfachen. Dafür brauchst du die beiden folgenden Formeln:

\(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\)     sowie        \(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\)

Unter Anwendung des ersten Potenzgesetzes kannst du vereinfachen zu:

\((x^2+y^2)\cdot\sqrt{x^2+y^2}=(x^2+y^2)\cdot(x^2+y^2)^{1/2}\)

Jetzt kannst du zusammenfassen, indem du unter Anwendung der zweiten Formel die Exponenten der beiden Faktoren addierst:

\((x^2+y^2)^1\cdot(x^2+y^2)^{1/2}=(x^2+y^2)^{1+1/2}=(x^2+y^2)^{3/2}\)

Damit kommst du auf

\(\vec{F}=G\cdot \dfrac{M\cdot m}{(x^2+y^2)^{3/2}}\cdot\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}=-G\cdot \dfrac{M\cdot m}{(x^2+y^2)^{3/2}}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)